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Chapitre 2
Synthèse
Exercices de synthèse
9 professeurs ont participé à cette page
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131
[Calculer, Chercher.]
Soient \text{A} et \text{B} deux points du plan complexe d'affixe respective a=5+2 \mathrm{i} et b=8 \mathrm{i}-1.
1. Soit \text{M} le point d'affixe z=-2+(5+\sqrt{2}) \mathrm{i}.
\text{M} appartient‑il au cercle \mathcal{C} de diamètre [\mathrm{AB}] ?
\text{M} appartient‑il au cercle \mathcal{C} de diamètre [\mathrm{AB}] ?
2. Existe‑il des points appartenant au cercle \mathcal{C} dont l'affixe est un imaginaire pur ?
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132
Vrai / Faux
[Communiquer, Raisonner.]
D'après bac S, Liban, juin 2010
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
1. Proposition 1 :
Soit le nombre complexe z=1-\mathrm{i} \sqrt{3}.
Si l'entier naturel n est un multiple de 3, alors z^n est un nombre réel.
2. Proposition 2 :
On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}), le point \text{A} d'affixe a=2-\mathrm{i} et le point\text{ B} d'affixe b=\frac{1+\mathrm{i}}{2} a.
Le triangle \text{OAB} est rectangle isocèle.
On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}), le point \text{A} d'affixe a=2-\mathrm{i} et le point\text{ B} d'affixe b=\frac{1+\mathrm{i}}{2} a.
Le triangle \text{OAB} est rectangle isocèle.
3. Proposition 3 :
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}), on associe à tout point \text{M} du plan d'affixe z non nulle, le point \mathrm{M}^\prime d'affixe z^\prime telle que z^{\prime}=\frac{-10}{\overline{z}}, où \bar z désigne le conjugué de z.
Il existe un point \text{M} tel que \text{O}, \text{M} et \mathrm{M}^\prime ne sont pas alignés.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}), on associe à tout point \text{M} du plan d'affixe z non nulle, le point \mathrm{M}^\prime d'affixe z^\prime telle que z^{\prime}=\frac{-10}{\overline{z}}, où \bar z désigne le conjugué de z.
Il existe un point \text{M} tel que \text{O}, \text{M} et \mathrm{M}^\prime ne sont pas alignés.
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133
[Chercher, Communiquer.]
D'après bac S, Liban, mai 2018
1. Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes 1+\mathrm{i} et 1-\mathrm{i}.
2. Pour tout entier naturel n, on pose : \mathrm{S}_{n}=(1+\mathrm{i})^{n}+(1-\mathrm{i})^{n}.
a. Déterminer une forme trigonométrique de \mathrm{S}.
b. Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Affirmation A : Pour tout entier naturel n, le nombre complexe \mathrm{S}_n est un nombre réel.
Affirmation B : Il existe une infinité d'entiers naturels n tels que \mathrm{S}_n=0.
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134
[Chercher, Calculer.]
Soit (u_n) la suite définie sur \mathbb{N} par u_{n}=\left(\frac{1+\mathrm{i} \sqrt{3}}{1-\mathrm{i}}\right)^{n}.
En utilisant la formule de Moivre, déterminer une forme trigonométrique de u_n en fonction de n.
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135
[Calculer, Représenter.]
On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Tout point \text{M} du plan distinct de \text{O} admet pour affixe z=r(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)), où r est un réel strictement positif et \alpha est un réel. On dit que \text{M} a pour coordonnées polaires (r , \alpha) relativement au pôle \text{O} et à l'axe polaire (\mathbf{O} ; \overrightarrow{\boldsymbol{u}}).
1. Que représentent géométriquement r et \alpha ?
2. a. Exprimer l'abscisse et l'ordonnée de \text{M} en fonction de r et de \alpha.
b. Soit \text{M} le point de coordonnées polaires \left(3 , -\frac{31 \pi}{4}\right).
Déterminer les coordonnées cartésiennes de \text{M}, puis l'affixe de \text{M} sous forme algébrique.
c. Soit \text{M} le point d'affixe 5 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{7 \mathrm{i} \pi}{3}}}.
Déterminer les coordonnées polaires de \text{M}.
3. Application :
Un sonar marin permet de détecter la position d'un objet à l'aide de coordonnées polaires et de la profondeur.
Voici une représentation graphique obtenue à l'aide d'un sonar en utilisant pour unité le kilomètre :
Le pôle est le point \text{O} et l'axe polaire est l'axe porté par la demi-droite [\mathrm{OA}).
Ainsi, le point \text{C} a pour coordonnées polaires \left(20 , \frac{\pi}{6}\right).
On donne (\overrightarrow{\mathrm{OA}} ; \overrightarrow{\mathrm{OD}})=-\frac{\pi}{3}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) et \widehat{\mathrm{EOA}}=45^{\circ}.
Voici une représentation graphique obtenue à l'aide d'un sonar en utilisant pour unité le kilomètre :
Le pôle est le point \text{O} et l'axe polaire est l'axe porté par la demi-droite [\mathrm{OA}).
Ainsi, le point \text{C} a pour coordonnées polaires \left(20 , \frac{\pi}{6}\right).
On donne (\overrightarrow{\mathrm{OA}} ; \overrightarrow{\mathrm{OD}})=-\frac{\pi}{3}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) et \widehat{\mathrm{EOA}}=45^{\circ}.
b. Reproduire la figure et placer le point \text{F} de coordonnées polaires \left(120 , \frac{3 \pi}{4}\right).
GeoGebra
c. Soit \text{G} le point d'affixe 40(-\sqrt{3}+\mathrm{i}). Déterminer les coordonnées polaires de \text{G} et le placer sur la figure.
d. Le commandement d'un sous‑marin repère une baleine située entre 60 km et 100 km avec un angle par rapport à l'axe polaire situé entre \frac{2 \pi}{3} et \frac{5 \pi}{6}.
Colorier la zone de recherche.
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136
Devoir maison
[Chercher, Raisonner.]
On définit la suite de nombres complexes (z_n) par : z_0=0 et, pour tout entier naturel n, z_{n+1}=3 \mathrm{i} z_{n}-1.
On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Pour tout entier naturel n, on note \mathrm{M}_{n} le point du plan d'affixe z_n.
1. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation (\mathrm{E}): z=3 \mathrm{i} z-1.
On note \text{A} le point dont l'affixe est la solution de cette équation.
2. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (u_n) par u_{n}=z_{n}+\frac{1}{10}+\frac{3}{10} \mathrm{i}.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u_{n+1}=3 \mathrm{i} \times u_{n}.
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_{n}=\left(\frac{1}{10}+\frac{3}{10} \mathrm{i}\right) \times 3^{n} \times \mathrm{i}^{n}.
On note \text{A} le point dont l'affixe est la solution de cette équation.
2. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (u_n) par u_{n}=z_{n}+\frac{1}{10}+\frac{3}{10} \mathrm{i}.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u_{n+1}=3 \mathrm{i} \times u_{n}.
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_{n}=\left(\frac{1}{10}+\frac{3}{10} \mathrm{i}\right) \times 3^{n} \times \mathrm{i}^{n}.
3. a. Démontrer que la distance \text{AM}_n diverge vers +\infty.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, \text{A}, \text{M}_n et \mathrm{M}_{n+2} sont alignés.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les droites \left(\mathrm{AM}_{n}\right) et \left(\mathrm{AM}_{n+1}\right) sont perpendiculaires.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, \text{A}, \text{M}_n et \mathrm{M}_{n+2} sont alignés.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les droites \left(\mathrm{AM}_{n}\right) et \left(\mathrm{AM}_{n+1}\right) sont perpendiculaires.
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137
[Calculer, Raisonner.]
D'après bas S, Amérique du Nord, juin 2010
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}) d'unité graphique 2 cm. On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.
On considère les points \mathrm{A} d'affixe \mathrm{i}, \text{B} d'affixe -2\mathrm{i} et \text{D} d'affixe 1.
On appelle \text{E} le point tel que le triangle \text{ADE} soit équilatéral direct, c'est‑à‑dire que (\overrightarrow{\mathrm{AD}} ; \overrightarrow{\mathrm{AE}})=\frac{\pi}{3}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
Soit f l'application qui, à tout point \text{M} d'affixe z \neq \mathrm{i}, associe le point \mathrm{M}^{\prime} d'affixe z^{\prime} définie par z^{\prime}=\frac{2 z-\mathrm{i}}{\mathrm{i} z+1}.
GeoGebra
1. Démontrer que le point \text{E} a pour affixe : z_{\mathrm{E}}=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(1+\mathrm{i}).
2. Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point \mathrm{D}^{\prime} associé au point \text{D} par l'application f.
3. a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de \mathrm{i}, \left(z^{\prime}+2 \mathrm{i}\right)(z-\mathrm{i})=1.
b. En déduire que, pour tout point \text{M} d'affixe z \neq \mathrm{i}, \mathrm{BM}^{\prime} \times \mathrm{AM}=1 et (\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{BM}^{\prime}})=-(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{AM}})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
4. a. Démontrer que les points \text{D} et \text{E} appartiennent au cercle \mathcal{C} de centre \text{A} et de rayon \sqrt 2.
b. En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point \mathrm{E}^\prime associé au point \text{E} par l'application f.
On laissera apparents les traits de construction.
5. Quelle est la nature du triangle \mathrm{BD}^{\prime} \mathrm{E}^{\prime} ? Justifier.
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138
[Chercher, Communiquer.]
D'après bac S, Amérique du Sud, novembre 2018
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}).
On considère les points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} distincts d'affixe respective z_{\mathrm{A}}, z_{\mathrm{B}}, z_{\mathrm{C}} et z_{\mathrm{D}} tels que : \left\{\begin{array}{l}z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{C}}=z_{\mathrm{B}}+z_{\mathrm{D}} \\ z_{\mathrm{A}}+\mathrm{i} z_{\mathrm{B}}=z_{\mathrm{C}}+\mathrm{i} z_{\mathrm{D}}\end{array}\right..
Démontrer que le quadrilatère \text{ABCD} est un carré.
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139
[Raisonner, Représenter.]
D'après bac S, Pondichéry, avril 2012
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}) d'unité 2 cm, on désigne par \text{A} et \text{B} les points d'affixe respective 1 et -1.
Soit f la transformation du plan qui, à tout point \text{M} d'affixe z \neq 1, associe le point \mathrm{M}^{\prime} d'affixe z^{\prime} tel que z^{\prime}=\frac{1-z}{\overline{z}-1}.
1. Soit \text{C} le point d'affixe z_{\mathrm{C}}=-2+\mathrm{i}.
a. Calculer l'affixe z_{\mathrm{C}^{\prime}} du point \mathrm{C}^{\prime}, image de \text{C} par la transformation f, puis placer les points \text{C} et \mathrm{C}^{\prime} dans un repère.
b. Montrer que le point \mathrm{C}^{\prime} appartient au cercle \mathcal{C} de centre \text{O} et de rayon 1.
a. Calculer l'affixe z_{\mathrm{C}^{\prime}} du point \mathrm{C}^{\prime}, image de \text{C} par la transformation f, puis placer les points \text{C} et \mathrm{C}^{\prime} dans un repère.
GeoGebra
b. Montrer que le point \mathrm{C}^{\prime} appartient au cercle \mathcal{C} de centre \text{O} et de rayon 1.
c. Montrer que les points \text{A}, \text{C} et \mathrm{C}^{\prime} sont alignés.
2. Déterminer et représenter sur la figure, l'ensemble \Delta des points du plan qui ont le point \text{A} pour image par la transformation f.
3. Montrer que, pour tout point \text{M} distinct de \text{A}, le point \mathrm{M}^{\prime} appartient au cercle \mathcal{C}.
4. Montrer que, pour tout nombre complexe z \neq 1, \frac{z^{\prime}-1}{z-1} est réel.
Que peut-on en déduire pour les points \text{A},\text{ M} et \mathrm{M}^{\prime} ?
5. Placer un point \text{D} et construire son image \mathrm{D}^{\prime} par la transformation f et ce, uniquement à la règle non graduée et au compas.
2. Déterminer et représenter sur la figure, l'ensemble \Delta des points du plan qui ont le point \text{A} pour image par la transformation f.
3. Montrer que, pour tout point \text{M} distinct de \text{A}, le point \mathrm{M}^{\prime} appartient au cercle \mathcal{C}.
4. Montrer que, pour tout nombre complexe z \neq 1, \frac{z^{\prime}-1}{z-1} est réel.
Que peut-on en déduire pour les points \text{A},\text{ M} et \mathrm{M}^{\prime} ?
5. Placer un point \text{D} et construire son image \mathrm{D}^{\prime} par la transformation f et ce, uniquement à la règle non graduée et au compas.
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140
Vrai / Faux
[Calculer, Communiquer.]
D'après bac S, Amérique du Nord, mai 2019
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Dans ce qui suit, z désigne un nombre complexe.
Pour chacune des affirmations ci‑dessous, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier.
1. L'équation z-\mathrm{i}=\mathrm{i}(z+1) a pour solution \sqrt{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}.
2. Pour tout réel x \in\left]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right[, le nombre complexe 1+\mathrm{e}^{2 \mathrm{i} x} admet pour forme exponentielle 2 \cos (x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}.
2. Pour tout réel x \in\left]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right[, le nombre complexe 1+\mathrm{e}^{2 \mathrm{i} x} admet pour forme exponentielle 2 \cos (x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}.
3. Un point \text{M} d'affixe z tel que |z-\mathrm{i}|=|z+1| appartient à la droite d'équation y=-x.
4. L'équation z^{5}+z-\mathrm{i}+1=0 admet une solution réelle.
4. L'équation z^{5}+z-\mathrm{i}+1=0 admet une solution réelle.
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141
[Calculer, Raisonner.]
On considère deux réels p et q.
1. Déterminer une expression factorisée de \mathrm{e}^{\mathrm{i} p}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} q} par \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{p+q}{2}}}.
Cette factorisation est appelée factorisation par l'angle moitié et les applications de cette factorisation sont multiples. On en donne quelques exemples dans les questions suivantes.
2. a. Déterminer une factorisation de \cos (p)+\cos (q) et \sin (p)+\sin (q).
b. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation \sin (2 x)-\sin (6 x)=0.
Cette factorisation est appelée factorisation par l'angle moitié et les applications de cette factorisation sont multiples. On en donne quelques exemples dans les questions suivantes.
2. a. Déterminer une factorisation de \cos (p)+\cos (q) et \sin (p)+\sin (q).
b. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation \sin (2 x)-\sin (6 x)=0.
3. On considère un réel x distinct de k\pi avec k \in \mathbb{Z}.
a. Calculer, pour tout entier naturel n, \mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} p x}.
b. Démontrer que \mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n} \cos (p x)=\frac{\cos \left(\frac{n x}{2}\right) \sin \left(\frac{(n+1) x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}.
c. Déterminer une égalité similaire pour \mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n} \sin (p x).
a. Calculer, pour tout entier naturel n, \mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} p x}.
b. Démontrer que \mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n} \cos (p x)=\frac{\cos \left(\frac{n x}{2}\right) \sin \left(\frac{(n+1) x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}.
c. Déterminer une égalité similaire pour \mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n} \sin (p x).
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142
Approfondissement
Suite de nombres complexes
D'après bac S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2018
On définit la suite de nombres complexes (z_n) de la manière suivante : z_0= 1 et, pour tout entier naturel n, z_{n+1}=\frac{1}{3} z_{n}+\frac{2}{3} \mathrm{i}.
On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}).
Pour tout entier naturel n, on note \mathrm{A}_n le point du plan d'affixe z_n.
Pour tout entier naturel n, on pose u_{n}=z_{n}-\mathrm{i} et on note \mathrm{B}_n le point d'affixe u_n.
On note enfin \text{C} le point d'affixe \text{i}.
D'après bac S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2018
On définit la suite de nombres complexes (z_n) de la manière suivante : z_0= 1 et, pour tout entier naturel n, z_{n+1}=\frac{1}{3} z_{n}+\frac{2}{3} \mathrm{i}.
On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}).
Pour tout entier naturel n, on note \mathrm{A}_n le point du plan d'affixe z_n.
Pour tout entier naturel n, on pose u_{n}=z_{n}-\mathrm{i} et on note \mathrm{B}_n le point d'affixe u_n.
On note enfin \text{C} le point d'affixe \text{i}.
1. Exprimer, pour tout entier naturel n, u_{n+1} en fonction
de u_n.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_{n}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \times(1-\mathrm{i}).
a. Pour tout entier naturel n, calculer, en fonction de n, le module de u_n.
b. Démontrer que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left|z_{n}-\mathrm{i}\right|=0.
c. Quelle interprétation géométrique peut‑on donner de ce résultat ?
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_{n}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \times(1-\mathrm{i}).
a. Pour tout entier naturel n, calculer, en fonction de n, le module de u_n.
b. Démontrer que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left|z_{n}-\mathrm{i}\right|=0.
c. Quelle interprétation géométrique peut‑on donner de ce résultat ?
3. a. Soit n un entier naturel.
Déterminer un argument de u_n.
b. Démontrer que, lorsque n décrit l'ensemble des entiers naturels, les points \mathrm{B}_{n} sont alignés.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, le point \mathrm{A}_{n} appartient à la droite d'équation y=-x+1.
Déterminer un argument de u_n.
b. Démontrer que, lorsque n décrit l'ensemble des entiers naturels, les points \mathrm{B}_{n} sont alignés.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, le point \mathrm{A}_{n} appartient à la droite d'équation y=-x+1.
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143
Approfondissement
[Calculer, Représenter.]
Pentagone régulier
1. a. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation (\mathrm{E}): z^{2}+z-1=0.
b. Déterminer une forme exponentielle des racines cinquièmes de l'unité. Quel polygone forment les points d'affixes les racines cinquièmes de l'unité ?
2. On note \omega=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{5}}}.
Montrer que :
a. 1+ \omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}=0
b. \omega^{3}=\overline{\omega^{2}} et \omega^{4}=\overline{\omega}.
3. a. En déduire que \omega+\overline{\omega} est solution de (\mathrm{E}).
b. Déterminer les valeurs exactes de \cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right) et \sin \left(\frac{2 \pi}{5}\right).
b. Déterminer une forme exponentielle des racines cinquièmes de l'unité. Quel polygone forment les points d'affixes les racines cinquièmes de l'unité ?
2. On note \omega=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{5}}}.
Montrer que :
a. 1+ \omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}=0
b. \omega^{3}=\overline{\omega^{2}} et \omega^{4}=\overline{\omega}.
3. a. En déduire que \omega+\overline{\omega} est solution de (\mathrm{E}).
b. Déterminer les valeurs exactes de \cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right) et \sin \left(\frac{2 \pi}{5}\right).
4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). On considère les points \text{U} et \text{V} d'affixe respective 1 et \text{i} et le point \text{A} d'affixe -\frac{1}{2}.
Soit \mathcal{C} le cercle de centre \text{A} et passant par \text{V}.
a. Déterminer l'affixe du point d'intersection de \mathcal{C} et de la demi‑droite [\mathrm{OU}).
b. En déduire une méthode de construction d'un pentagone régulier à la règle non graduée et au compas, puis effectuer cette construction.
Soit \mathcal{C} le cercle de centre \text{A} et passant par \text{V}.
a. Déterminer l'affixe du point d'intersection de \mathcal{C} et de la demi‑droite [\mathrm{OU}).
b. En déduire une méthode de construction d'un pentagone régulier à la règle non graduée et au compas, puis effectuer cette construction.
GeoGebra
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144
Approfondissement
Transformée de Fourier Discrète
La transformée de Fourier discrète (TFD) est un outil mathématique permettant, entre autres, l'étude des signaux numériques.
La TFD d'une séquence de n nombres complexes \left(z_{0}\,;z_{1}\,;\ldots\,;z_{n-1}\right) est la donnée de la séquence de n nombres complexes \left(\mathrm{Z}_{0}\,;\mathrm{Z}_{1}\,;\ldots\,;\mathrm{Z}_{n-1}\right) définis, pour tout entier p compris entre 0 et n - 1, par \mathrm{Z}_{p}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n-1} \mathrm{Z}_{k} \omega^{-k p}, où \omega=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{n}}}.
La transformée de Fourier discrète (TFD) est un outil mathématique permettant, entre autres, l'étude des signaux numériques.
La TFD d'une séquence de n nombres complexes \left(z_{0}\,;z_{1}\,;\ldots\,;z_{n-1}\right) est la donnée de la séquence de n nombres complexes \left(\mathrm{Z}_{0}\,;\mathrm{Z}_{1}\,;\ldots\,;\mathrm{Z}_{n-1}\right) définis, pour tout entier p compris entre 0 et n - 1, par \mathrm{Z}_{p}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n-1} \mathrm{Z}_{k} \omega^{-k p}, où \omega=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{n}}}.
1. Calculer la TFD de la séquence de nombres suivante (0\,;1\,;1).
2. On admet que, pour tout entier naturel p allant de 0 à n - 1, on a z_{p}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n-1} \mathrm{Z}_{k} \omega^{k p}.
On parle de transformation inverse de Fourier discrète.
Calculer la transformée inverse de Fourier discrète de la séquence (3\,;-5\,;\mathrm{i}).
2. On admet que, pour tout entier naturel p allant de 0 à n - 1, on a z_{p}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n-1} \mathrm{Z}_{k} \omega^{k p}.
On parle de transformation inverse de Fourier discrète.
Calculer la transformée inverse de Fourier discrète de la séquence (3\,;-5\,;\mathrm{i}).
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145
Approfondissement
Démo
[Calculer, Raisonner.]
Inégalité triangulaire
Partie A : Démonstration de l'inégalité triangulaire
Soient z et z^\prime deux nombres complexes quelconques.
L'objectif de cet exercice est de démontrer l'inégalité triangulaire : \left|z+z^{\prime}\right| \leqslant|z|+\left|z^{\prime}\right|.
1. Démontrer que, pour tout nombre complexe z, z+\overline{z}=2 \operatorname{Re}(z) et que \operatorname{Re}(z) \leqslant|z|.
2. a. Montrer que \left|z+z^{\prime}\right|^{2}=|z|^{2}+\left|z^{\prime}\right|^{2}+2 \operatorname{Re}(z \times \overline{z^{\prime}}).
b. Développer \left(|z|+\left|z^{\prime}\right|\right)^{2}.
3. Déduire des questions précédentes que : \left|z+z^{\prime}\right| \leqslant|z|+\left|z^{\prime}\right|.
Soient z et z^\prime deux nombres complexes quelconques.
L'objectif de cet exercice est de démontrer l'inégalité triangulaire : \left|z+z^{\prime}\right| \leqslant|z|+\left|z^{\prime}\right|.
1. Démontrer que, pour tout nombre complexe z, z+\overline{z}=2 \operatorname{Re}(z) et que \operatorname{Re}(z) \leqslant|z|.
2. a. Montrer que \left|z+z^{\prime}\right|^{2}=|z|^{2}+\left|z^{\prime}\right|^{2}+2 \operatorname{Re}(z \times \overline{z^{\prime}}).
b. Développer \left(|z|+\left|z^{\prime}\right|\right)^{2}.
3. Déduire des questions précédentes que : \left|z+z^{\prime}\right| \leqslant|z|+\left|z^{\prime}\right|.
Partie B : Cas d'égalité
L'objectif de la suite de l'exercice est de déterminer les cas d'égalité de l'inégalité triangulaire. On va donc déterminer à quelles conditions sur z et z^\prime on a l'égalité \left|z+z^{\prime}\right|=|z|+\left|z^{\prime}\right|.
1. Démontrer que l'égalité est vérifiée si z=0 ou z^{\prime}=0.
On suppose par la suite que z \neq 0 et z^{\prime} \neq 0.
2. Quelles conditions le nombre complexe z doit‑il vérifier pour que z+\overline{z}=2 \operatorname{Re}(z)=2|z| ?
3. a. Démontrer que \left|z+z^{\prime}\right|=|z|+\left|z^{\prime}\right| si, et seulement si, il existe \lambda \in \mathbb{R}^{+} tel que z=\lambda \frac{z^{\prime}}{\left|z^{\prime}\right|^{2}}.
b. On considère \text{M} et \mathrm{M}^\prime d'affixe respective z et z^\prime.
Comment peut‑on interpréter géométriquement la condition d'égalité de l'inégalité triangulaire pour les points \text{M} et \mathrm{M}^\prime ?
L'objectif de la suite de l'exercice est de déterminer les cas d'égalité de l'inégalité triangulaire. On va donc déterminer à quelles conditions sur z et z^\prime on a l'égalité \left|z+z^{\prime}\right|=|z|+\left|z^{\prime}\right|.
1. Démontrer que l'égalité est vérifiée si z=0 ou z^{\prime}=0.
On suppose par la suite que z \neq 0 et z^{\prime} \neq 0.
2. Quelles conditions le nombre complexe z doit‑il vérifier pour que z+\overline{z}=2 \operatorname{Re}(z)=2|z| ?
3. a. Démontrer que \left|z+z^{\prime}\right|=|z|+\left|z^{\prime}\right| si, et seulement si, il existe \lambda \in \mathbb{R}^{+} tel que z=\lambda \frac{z^{\prime}}{\left|z^{\prime}\right|^{2}}.
b. On considère \text{M} et \mathrm{M}^\prime d'affixe respective z et z^\prime.
Comment peut‑on interpréter géométriquement la condition d'égalité de l'inégalité triangulaire pour les points \text{M} et \mathrm{M}^\prime ?
Soient z_1, z_2, …, z_n, n nombres complexes.
1. Montrer que \left|z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}\right| \leqslant\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\ldots+\left|z_{n}\right|.
2. En déduire que, pour tous nombres complexes a et b, |1+a|+|a+b|+|b| \geqslant 1.
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146
Approfondissement
[Calculer, Raisonner.]
Racines \boldsymbol{n}‑ièmes d'un nombre complexe
Soient r un nombre strictement positif et \alpha un réel.
Soient a le nombre complexe a=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} et n un entier naturel non nul.
L'objectif est de résoudre dans \mathbb{C} des équations de la forme z^n = a.
Les solutions de cette équation sont appelées racines n‑ièmes de a.
1. Résoudre l'équation pour n = 1.
2. a. Démontrer que -3+4 \mathrm{i}=(1+2 \mathrm{i})^{2}.
b. Résoudre dans \mathbb{C}, z^{2}=-3+4 \mathrm{i}.
Soient r un nombre strictement positif et \alpha un réel.
Soient a le nombre complexe a=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} et n un entier naturel non nul.
L'objectif est de résoudre dans \mathbb{C} des équations de la forme z^n = a.
Les solutions de cette équation sont appelées racines n‑ièmes de a.
1. Résoudre l'équation pour n = 1.
2. a. Démontrer que -3+4 \mathrm{i}=(1+2 \mathrm{i})^{2}.
b. Résoudre dans \mathbb{C}, z^{2}=-3+4 \mathrm{i}.
3. a. Déterminer une forme exponentielle de \sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i}.
b. Justifier que \sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i} est solution de z^{3}=-4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} \mathrm{i}.
c. Déterminer une forme exponentielle de -4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} \mathrm{i}.
d. Justifier que résoudre z^{3}=-4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} \mathrm{i} revient à résoudre \mathrm{Z}^{3}=1 avec \mathrm{Z}=\frac{z}{2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{4} \mathrm{i}}}}.
e. En déduire la résolution dans \mathbb{C} de l'équation z^{3}=-4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} \mathrm{i}.
b. Justifier que \sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i} est solution de z^{3}=-4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} \mathrm{i}.
c. Déterminer une forme exponentielle de -4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} \mathrm{i}.
d. Justifier que résoudre z^{3}=-4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} \mathrm{i} revient à résoudre \mathrm{Z}^{3}=1 avec \mathrm{Z}=\frac{z}{2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{4} \mathrm{i}}}}.
e. En déduire la résolution dans \mathbb{C} de l'équation z^{3}=-4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} \mathrm{i}.
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Le Grand Oral
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Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d'appui à des questions de Grand Oral. Voici un exemple, basé sur l'enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.
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Dans le cadre de l'enseignement de spécialité, vous avez défini la notion d'intégrale d'une fonction f continue sur un intervalle [a ; b].
1. Rappeler la définition de \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x lorsque f est positive sur [a ; b].
2. Expliquer à travers quelques exemples comment les notions du chapitre permettent de linéariser une expression trigonométrique, puis justifier l'intérêt de la linéarisation dans le cadre d'un calcul d'intégrale.
3. Les calculs d'intégrales de fonctions trigonométriques sont essentiels dans certaines branches de la physique telles que le traitement du signal. Expliquer pourquoi en vous appuyant sur des recherches documentaires.
Méthodologie
Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le